六十一甲子，这是一个不算短的时间。也正是从20世纪50年代起，我进入力学界，目睹力学学科的发展变化，迄今已经六十年了。

在这六十年中，计算力学的诞生与发展、材料力学的性质研究和力学一些基本理论问题的提出与解决是最值得了解而又影响深远的成果。

01

计算力学

在早期应用计算机求解力学问题仅是利用了其运算速度快这一特点。但一台计算机需要数以百计的工作人员编程序才能喂饱，于是编写程序又成了使用计算机的瓶颈，人们想出了许多方法去解决这一困难。从20世纪50年代先后出现的符号汇编语言、FOR- TRAN 语言、ALGOL 语言等以及随之而迅速发展起来的软件产业，就是为了解决这一问题应运而生的。最成功的就是有限元方法的产生与发展，它的产生是计算力学作为力学的一个独立分支学科形成的标志。

在20世纪50年代中期世界各国都有一批人在思考用计算机求解结构力学与连续介质力学问题。如美国的特纳、 前苏联的符拉索夫、中国的冯康都提出了帽子函数插值或单元刚度的矩阵表示。所以有限元的思想是一种世界性思潮的产物。

20世纪50年代末加利福尼亚大学伯克利分校的威耳孙在克劳夫指导下完成的博士论文《二维结构的有限元分析》是有限元法的发展历史上的重要事件，该论文编写了世界上第一个解决平面弹性力学问题的通用程序。这个程序的功能是利用它解决任何平面弹性力学问题均不需再编程序，只要按说明输入必要的描述问题的几何、材料、荷载数据，机器就可以进行计算，并且按照要求输出计算结果。有限元法的程序一开始使用，立刻显出它的无比优越性。原来在弹性力学领域内对付平面问题，只有复变函数方法与平面光弹性方法两种，但有限元法远优于这两种方法，因此这两种方法渐渐退出了历史舞台。

威耳孙在有限元程序系统方面后来还进行过许多有意义的研究，他相继编写了有限元的多种单元的程序SAP（Structural Analysis Program）和适应微处理机的程序 SAP81。这两个程序经曲圣年和袁明武等人的移植与修正、扩充改造形成独立的版本在我国工程建设中发挥了重大作用。在他的指导下，他的研究生编写了非线性结构分析程序 NONSAP，NONSAP 经过美国巴特的改进形成了有世界影响的非线性分析程序 ADINA。

1972 年北京大学曲圣年等用汇编语言编的平面问题 BD 通用程序，在解决许多水工问题中发挥了很大的作用。

在此之后，结构分析的有限元软件迅速发展。包括二维元、三维元、梁单元、杆单元、板单元、壳单元、流体单元等多种单元、能解决弹性、塑性、流变、流体以及温度场、电磁场各种复杂耦合问题的软件以及软件系统不断出现，使用有限元法解决实际问题迅速在工程技术部门普及。计算力学的发展，极大地改变了工业结构设计的工作状况。在使用计算机之前的设计中，百分之九十是靠实验，百分之十靠计算，如今百分之十靠实验，百分之九十靠计算。随之而来的无图纸加工、计算机辅助加工等领域的发展，极大地提高了设计效率。

面对计算力学的迅速发展以及因它所取得的成功，一些学者对于计算力学的前景产生了过分乐观的估计。20年前美国就曾有人预言，再过10年风洞就要被计算机代替。如今20年过去了，计算机仍不能取代任何风洞。计算力学目前也并非无所不能，对于可以用线性理论来近似的那些问题，计算力学可以较好地解决。但对于非线性的力学问题，计算力学几乎还是无能为力。

从20世纪60年代开始，在结构分析的有限元程序中，逐渐计入非线性项。例如，涉及结构材料的塑性性质，被定义为物理非线性问题；涉及结构大变形引起的修正，被定义为几何非线性问题。最初的计算方案都是采用荷载增量法，即逐步给荷载一个小的增量，求相应的变形增量。20世纪60年代末，人们在实际应用中发现，在荷载达到极大值时计算机总是溢出而停机。这个问题困惑了人们许多年，直到 20 世纪末，美国学者温泊纳和荷兰学者瑞克斯才分别从理论上提出解决这个问题的方法，很快人们在程序上实现了这个后被称为弧长法的方法。

结构的优化设计是计算力学中一个重要的非线性研究领域，它的主要目的是在满足一系列条件下（这些条件也被称为约束）寻求结构最优参数。通常这类问题是非线性的，而且计算量非常大，只有靠计算机的帮助才能解决。

在求解非线性问题中，首先面临的是分叉的问题。在有限元的通用程序中，对于结构稳定性的问题，通常是将问题化归于一个特征值问题，它的基础还是线性理论。在用非线性程序来求解时，往往由于遇到分叉而不能前进。这是因为在分叉点，结构的总体刚度矩阵退化问题无法继续求解。为了克服这一困难，针对高维系统中平衡解的静分叉以及霍普夫分叉，一系列相关的方法陆续出现，但是在实际应用中还是不能彻底解决问题。关于高维系统的同宿轨道与异宿轨道的计算，以及高维系统向混沌转化的计算，迄今仍是难题。

02

材料的力学

性质研究

20世纪人类经历了一次材料革命。随着各种新的高强度合金材料、高分子材料、陶瓷材料、复合材料的出现，提出了大量新的力学课题。

高强度材料出现后，遇到的第一个问题就是高强度材料的破坏大都是脆断，且强度极限比较分散。而以软钢为主要结构材料时，材料的屈服能够使超静定结构的应力重新分布，使各个结构元件的受力更合理。但是高强度构件的脆断却能够导致整个结构的破坏，有许多事故警告人们需要制定和修订适应新材料的设计规范。

在材料力学性质研究中，最应当提到的是四个基础性的研究： 1909年卡拉索夫关于具有椭圆孔无限平面问题的复变函数解；1920年格里菲斯关于玻璃棒强度与具有裂纹的解释；1934年泰勒关于位错的研究；以及1957年艾舍尔比关于无限弹性体中有椭球夹杂的分析解。这些经典解以及它们的推广和扩充，后来构成了应用于材料强度研究的理论基础。由于这些研究，大大改善了各种结构使用的材料比例，以航空结构来说，到2013年，机身所用的复合材料已占64.6%，航空发动机复合材料占 6.9%，飞行器内部复合材料占 17.8%。此外采用高强度合金的结构设计既节约又安全，类似的事故大为减少。

纤维增强材料的机身尾

03

力学一些基本理论问题的提出与解决

3.1

KAM 定理与稳定性理论的进一步发展

一般对于微分方程中含有小参数的项，得到的结论是，解中的小参数对解的影响也是微小的。可是如果系统中含有一个小参数的周期扰动，这个系统会不会失去稳定性？这就是200年前拉普拉斯提出来的关于太阳系的稳定性问题，经过庞加莱的定性理论的发展，1954年，前苏联著名数学家科尔莫哥罗夫提出了一个猜想，随后在 1963 年被他的学生阿诺尔德证明，在略为不同的提法下，1962年被茅扎尔所证明。所以这个猜想现在被称为科尔莫哥罗夫－阿诺尔德－茅扎尔定理，也就是 KAM 定理。

柯尔莫哥洛夫

这个定理涉及哈密尔顿正则方程组解的长期稳定性问题。它不像李亚普诺夫的稳定性是关于初始条件的扰动后的稳定性问题，所以靠李亚普诺夫的理论不能解决这类问题。这类问题需要考虑施加一个长期的小扰动是否稳定的问题。KAM 定理的主要结论是，在一定的条件下，概率为1（即绝大多数）的情形是，原来具有周期解的哈密尔顿的正则方程组在小扰动下对应的解为拟周期解，即只在某个高维的环面内运动。也就是说，系统不稳定的概率为零。根据这个定理解决了当年庞加莱提出的平面限制性三体问题的稳定性问题。

俄国学者李亚普诺夫在1892年提出了稳定性的精确概念之后，在李亚普诺夫稳定性提法下，这种理论在很长时间里没有大的进展。直到20世纪50年代末至60年代初，前苏联学者祖波夫和莫夫强才扩展了稳定性的定义，将它扩展到了无限自由度系统，由此可以解决依赖于时间的偏微分方程解的稳定性问题。

3.2

奇怪吸引子与全局分叉问题

也许是庞加莱与希尔伯特的威望太高了，自从庞加莱之后，人们虽然认识到周期解的重要意义，但是更多的工作都集中在平面上的动力系统。人们也许认为，平面上的动力系统的极限环或周期解弄清楚了，其他情形大致也便清楚了。

静止的粘性流体，当温度不均匀时它将如何运动？ 1963年美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹教授发表了一篇《确定性非周期流》的论文，他将前人关于大气对流的方程做了很大的简化，他把方程中的速度与温度函数展为级数，仅取三项，于是得到了一组方程：

ẋ = -10x + 10 y

ẏ = rx - y - xz

ż = -(8/3)z + xy

其中 x、y、z 分别是流动速度和温度的第一项，若令方程的左边都为零，可以得到三个稳态解。其中一个表示没有对流，另外两个是平稳对流。式中的常数r是可变的。对于不同的r值，可以讨论这三个解的稳定性。当r小于24.74时，平稳对流状态是稳定的；在临界值 24.74处，对流开始；在r取28时，恰好是不稳定对流开始。若令r=28，来求解方程。结果，这个仅含两个二次项的方程组，比想象的复杂得多。这个方程也由此而出名，被称为洛伦兹方程。

洛伦兹用计算机求解这组方程算了3000步，在开始的1000 步，有点像周期解，随后却越来越看不出规律，在2000步以后，变为毫无规律的混沌。计算结果在相空间表现为围绕两个环来回转圈。这种现象被后人称为奇怪吸引子。吸引子，是动力系统的解在时间t 趋于无限增长时解的极限集合。在洛伦兹之前，人们由于只了解平面上的运动，对吸引子的了解仅限于平衡点、极限环等少数类型。由于洛伦兹方程的引进，使人们看到了以前没有见过的吸引子，所以称为奇怪吸引子。

洛伦兹

混沌，是一个确定性的动力系统在一定条件下它的解转化为无规则行为的现象。例如，从烟筒里冒出的烟，开始是比较规则的运动，过一段时间就变为无规则运动。洛伦兹奇怪吸引子是最早发现的一类向混沌转化的例子。后来有越来越多的人研究混沌，有一个阶段形成热潮。它之所以受到重视，是由于混沌的发现，使人类对客观规律认识来了一个飞跃。自从1812 年，拉普拉斯在他的《概率分析理论》明确提出确定论的哲学观点之后，一般人认为在力学范围内，运动是确定的。在20世纪初量子力学产生后，人们改变了看法，认为在微观世界里，确定论不对，但是在宏观力学中，确定论还是绝对正确的。现在人们开始认识到在经典力学的范围内也可以出现随机现象。所以人们把混沌的发现认为是科学在20世纪的重大进展。

一个依赖于参数的动力系统，当参数取某些值时，会产生奇怪吸引子，或者会产生解曲线的全局性的性质变化，这也可以认为是一种分叉，称为全局分叉。

3.3

孤立波的研究

孤立波最早的记载是英国学者罗素在1834年于苏格兰爱丁堡到格拉斯哥的联合运河上发现的。当运河启闭闸门时产生了一个波，他骑着马一直追赶了1.5英里，发现这个波并未变形。罗素 1840年发表了一篇论文，在论文中他首次使用了孤立波这一名词，并预言了这种孤立波的传播速度为c =【 g(h + k)】^½，其中 g 为重力加速度，h为扰动的水深，k为波高。罗素的文章后来引起了争论，布森涅斯克发表文章表示支持，英国的天文学家艾里与流体力学家斯托克斯都发表文章表示反对。最后英国科学家瑞利于1876 年发表《孤立波》的文章才以肯定的结论终止了这场争论。

1895年荷兰科学家科尔泰沃赫与德弗里斯给出了浅水波方程，

u_t + u_x+ uu_x+ u_xxx= 0，

现今称为 KdV 方程，并且给出了一个精确的行波解，其中u是波的高度。

进入20 世纪后，在很长的时间里，孤立波几乎被人们遗忘了。20世纪50年代以来，发现在等离子体内可以有孤立波传播，又发现在连续的非线性振动系统中有孤立波现象。由此再次引起了广泛的关注。美国数学家拉克斯于1968年证明了对于二阶方程

( d²y/dx² ) +[λ – u（x,t）]y = 0, a ≤ x ≤ b ，

且y在两个端点为零，当u（x, t）满足 KdV 方程时，所对应的特征值λ是同一个。这就是所谓特征值的逆问题。由此引起了人们对量子力学、非线性方程的积分求解,以及积分变换等研究方向之间的联系与有关数学、力学、物理学更广泛的兴趣。一些研究湍流的学者认为湍流中的涡的运动有可能具有孤立波的性质。探讨孤立波也许可以为揭开湍流的秘密开辟另一条路。

以上这些基本理论问题的研究进展，改变了人们的世界观，以往认为确定论的动力系统，现在发现可以包含随机行为，以往认为只有线性波动才满足叠加原理，现在认识到非线性波动也满足叠加原理，而且广泛地存在于自然界，分岔与稳定性问题研究范围被扩大。所以对这些基本理论的研究不仅有益于力学学科的发展，对于整个自然科学乃至哲学和认识论也具有革命性的意义。

本文选自《现代物理知识》2017年第5期 时光摘编