从结绳记事到现代计算机
王佩良 张若彤 柏莲花 黎钰琳 高莎莉
《周易·系辞下》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契，百官以治，万民以察。”据学者杜钢建研究，在伏羲发明平面文字之前，人类有漫长的立体绳文时代。工匠大师燧人氏弇兹氏圣母发明用树皮搓绳记事的技术，其绳索有三种：单股为玄，双股为兹，三股为索，又作素。弇兹氏的织女又称玄女、玄帝、王素、素女、须女、帝弇兹等。北极星因弇兹氏织女发现并用绳索文字记录下来，故称“织女星”。早期的八索准绳圭表纪历等均用绳索立体文字表示。春秋时期的学者大多不认识上古的绳索立体文字。《春秋经传集解》认为：“古者无文字，其有约誓之事，事大大其绳，事小小其绳，结之多少，随物众寡，各执以相考，亦足以相治也。”
上古时期，先民结绳记事，用结绳方式记录国家历史和法律文献，以治理天下，留下许多和“结绳”活动相关的汉字和词语，如与“索”有关的求索、思索、搜索、探索、摸索、索引、远溯博索、钩深索隐，与“结”有关的结合、总结、终结、结绳而治，与“解”有关的解决、解释、玄解、正解、难解、解密，与“绳”有关的绳约、逾绳越契、月书赤绳，与“玄”有关的玄符、玄幻、玄之又玄、剖玄析微，与“联”有关的联贯、联系、联络、联盟、联想，与“继”有关的继续、继承、继而、继述、继往开来，与“绝”有关的断绝、绝对、绝节、史不绝书，与“纲”有关的纲领、大纲、纲要、提纲、纲目、总纲、纲目不疏、举纲持领。这些词组都来自远古时代的结绳记数。三坟、五典、八索、九丘是中国远古文献的总称，其中“八索”指八卦之书。八卦原本是八个部落盟主将部落名称以绳结文字的方式挂在胸前，如同领结，以识别身份。
在中国西南地区，独龙族、傈僳族、哈尼族、怒族、佤族、瑶族在上世纪初期仍使用结绳文字记录生产与生活。独龙族曾采用刻木结绳记事，将打结的麻绳挂在床头，以免忘记重要事项。若出远门办事，则将麻绳系于腰间，要办几件事，或要过几天，就打几个结。向别人借钱或粮食，也要打结记录。傈僳族用棕绳和麻绳打结记账记数，结节的大小与多少，代表物品的种类与数量。为避免混淆，在每根麻绳上系一点头饰或烟嘴之类的信物。结绳曾是傈僳族人的工分簿。贡山傈僳族用绳索文字记录出工情况。怒江碧江傈僳族人通过结绳计算年数和天数。结绳时有约定俗成的规矩，绳子的长短、粗细、颜色，结的数量，位置的上下，分别代表不同的含义。绳索文字也可表达抽象的概念。就颜色而言，白线意为纯洁，蓝线象征和平，黑线表示敌意，红线预示流血等。哈尼族用绳索文字记载田地买卖，借贷时则用两根同样长的绳子打同样的结，各执一根作为凭证。怒族用结绳代表相见的时间。佤族用结绳记录账目。德昂族用红、黄、黑、白4种颜色组成的棉线结成的结绳记事，绳索分为粗绳、中绳和细绳。粗绳记录劳动所获，中绳记录支出情况，细绳代表劳务输出。湘西苗族有一种古老的绳索结带记录的乐谱。它有花边带，分成上、中、下三个区位，每个区位结上3至5个不同颜色的宽半寸、长四寸的布条，表示不同的音调，还可以表示27个辅音。西藏地区的僜人在1956年还用结绳、刻木、摆木棍等方式记事。僜人有语言，也有绳索立体文字。但外人不认识其绳索立体文字，就认为僜人无文字。
殷商末年，纣王自杀，攸侯喜率部远渡重洋，到达美洲，开创印第安人文明，带去绳索立体文字，曾经辉煌的印加帝国在1533年被西班牙皮萨罗军队毁于一旦，只留下印加人用棉线、驼毛线制作的绳文记谱（khipu）。记谱是由一根主绳串着数百根副绳组成。主绳通常直径为0.5-0.7厘米，每根细绳上有一串绳结。在细绳上又挂着第二层或第三层绳索。在印加人的700多个记谱中，大多是公元十四五世纪打的结，距今已有数百年。1956年，印加帝国政治中心普鲁楚柯遗址出土了21个记谱绳结。哈佛大学学者用电脑建立印加记谱数据库，记录各种绳索的大小、长度与颜色，挂穗数量，绳结数目，每股绳的旋转方向、次数、年代等，经比对发现记谱有共同点和记事规律。记谱的数字表达方式有三种：8字结代表1，长结依据扭转的次数依次代表数字2至9，单结代表10、100和1000等等。0则在绳索上留一段空位。单根绳子代表几个数字，可能是小计或总和。如果一根绳子从上到下有一串4个单结，再有一串5个单结，还有一个扭了两圈的长结，这一绳子表示数字452。根据乌尔顿《印加记谱中的符号》一书记载，印加记谱还可记录日历，730根绳子吊在24个位置，表示两年中的月份和日子。印加绳索文字能够传承长诗《奥扬泰》。印加人的历史、诗歌、音乐、哲学、占星等最初由记谱记录下来，印加年轻人必须学习绳索记谱文字即立体文字，使知识技艺曾得以传承。记谱是一种表会意的书写体系，记载着帝国5500公里疆域的信息。
乌尔顿表示对记谱的深入分析将有助于揭开印加人的生活细节。每一个当地的会计师都会将从下级得来的帐目总和通过绳结的方式表现在记谱上，并将这些数据汇总在一根主绳上，然后层层上递。这种交流方式可能曾用于国家最重要的信息记录上，包括帐目以及其他与人口、财政和军事相关的数据。
距今三千多年的殷商时代，甲骨文的出现标志着中国数学迈入第一个高峰。在安阳殷墟出土的龟甲兽骨上，“一”至“万”共13个基础数字符号已形成完整体系。这些符号的组合规则，清晰展现了“十进位值制”的雏形，以“十”为进阶单位，“十十为百，十百为千”，同一符号因位置不同代表不同数值，如“三百又四十八”中的“三”在百位表示300，“四”在十位表示40，“八”在个位表示8。《殷契粹编》第1170片记载：“辛酉卜，贞：王田于鸡彔，往来亡灾。获象十、雉十又一。”其中“十又一”即11，采用明确的位值组合。商代青铜器“小臣艅尊”铭文中的“六百又五十又九”，通过“又”字连接不同数位，形成完整的位值链。
根据文献记载，算筹除竹筹外，还有木筹、铁筹、骨筹、玉筹和牙筹，一般有盛装算筹的算袋或算筒。为方便使用，算筹的长度越来越短。在西汉时期的出土文物中，算筹的长度多为六寸，约13厘米。广州南越王墓出土的象牙筹、陕西千阳出土的西汉骨筹，长度均约六寸。桓宽在《盐铁论》卷四记载了算筹的长度规格，即“运之六寸，转之息耗。”东汉时期，算筹的长度减少至四寸，约9厘米。河北石家庄东汉墓出土算筹，长度不及四汉寸，便于拿取收纳。《数术记遗》记录14种算法，提到算筹“长四寸”。《隋书·律历志》记载：“其算用竹，广二分，长三寸。”整套算筹的数量逐渐变少。《汉书·律历志》记载：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”其时，一套算筹共271枚，称为“一握”。元代著作《湛然居士集》记载，一套算筹91枚，整套算筹能收纳在一个长椭圆形袋子中，名为算袋，状如墨鱼。古人早就有正、负数的概念，用不同颜色的算筹加以区分。2004～2008年间，陕西省西安市长安区南郊神禾原战国秦陵园出土一批制作精良的象牙算筹，筹身涂饰以红、黑色彩，共59枚，其中素白1枚，红白30枚，红黑28枚。曹魏刘徽注释《九章算术》：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”《九章算术》记载了“卖二牛，买五羊，余钱十”的负数应用题，表明当时已形成完整的正负概念，并能进行负数运算。北宋沈括《梦溪笔谈》：“算法用赤筹、黑筹，以别正负之数。”由此可见，算筹多为竹制，规格不一，历朝历代不大相同，总体趋势是便于保存与携带。古人以“筹”辅佐计算的时间很长，至少延续到了宋代。
作为筹策的竹木小棍是计算的硬件，为其配套强大的软件筹算系统，就可以实现功能升级，应付复杂的运算。首先是算筹摆位。表达单位数字时，1—5以或纵或横的方式排列，6—9以纵横结合的方式排列。表达多位数时，个位用纵式（竖排），十位用横式（横排），百位再用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，相当于空格。数字“12345”需排列为纵、横、纵、横、纵五列，形似一幅微型画卷。南北朝刘徽在《孙子算经》最早记载了筹算记数规则：“凡算之法，先识其位。一纵从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”这种纵横交替的布列方式，使“空位表零”成为可能。“203”写作两竖、一空、三竖。十进制的位置决定每个数码表示的数值，8在个位上表示8，在十位上就表示80。《墨子·经说下》：“一少于二而多于五。”即一在个位数时小于二，在十位数时则大于五。
算筹既是算术工具，也是古代社会正常运转的重要工具。考古发现为了解算筹的早期使用历史提供了生动注脚。河北战国中山王厝墓出土7枚玉算筹，以白色或灰绿色玉制成，一侧刻有等距凹口，叠合后刻度连为一线，可见其设计精密。这些玉筹并非实用工具，而是象征王权对知识与计算的垄断。中山成公墓出土45枚骨算筹，通体磨制光滑，显然是市井商贾的日常计算工具。陕西旬阳汉墓出土的象牙算筹、湖南长沙左家公山战国墓出土的竹筹，则印证了算筹在民间的广泛传播。秦始皇统一度量衡，算筹支撑起庞大的计算体系，是帝国得以有效治理的核心技术。湖北云梦睡虎地秦简《效律》规定：“县料而不备者，钦书其解，以令丞印封，与计偕上”。其中“计偕”指携带算筹的会计人员，说明算筹已成为国家治理的核心工具。《旧唐书·舆服志》记载，唐朝上元元年（671年）规定：“一品以下文官，并带手巾、算袋、刀子、砺石，武官欲带亦听之。”685-689年，“罢佩刀、砺石”，仍带手巾、算袋。711年又规定：“九品以上文武官咸带手巾、算袋。”至714年“并停京官所带跨巾、算袋。”由此可见，在674-711年间，文武官员尤其是文官必需在腰间革带上佩戴算袋，便于计算之需。
随着对外交通的开放，中国的算筹随着丝绸之路的驼铃声，以及大海远航的波浪声，远播四方。北齐徐显秀墓壁画中的粟特商人，腰间佩挂算囊，手持算筹与汉商交易，印证了数学工具的跨文化传播。吐鲁番阿斯塔那墓出土的伏羲女娲图，女娲手持算筹象征计算，这类图像沿丝绸之路西传，成为数学交流的视觉符号。公元6世纪，算筹传入朝鲜与日本。日本正仓院至今藏有唐代算筹，其形制与《孙子算经》记载完全一致。7世纪，柬埔寨吴哥王朝的碑文中出现“0”字符号，可能受中国“空位表零”的启发。印度数学家婆罗摩笈多在吸收中国位值制后，发展出完整的十进制数字系统。9世纪，阿拉伯学者花拉子米在其著作中详细介绍了与筹算高度相似的十进制运算方法。13世纪，意大利数学家斐波那契通过阿拉伯文献接触到十进制，并编撰《计算之书》，大力推广。16世纪，欧洲普及印刷术，逐渐放弃繁复的罗马数字，接纳“印度—阿拉伯数字”。19世纪，马克思在《数学手稿》中盛赞十进位值制为“最妙的发明之一”。1992年，新加坡学者蓝丽蓉出版《雪泥鸿爪溯数源》，提出阿拉伯数字体系的十进位制及运算体系源于中国古代的筹算和九章算术，得到学术界公认。筹算时代虽已过去，但人们经常说到“运筹帷幄”“筹划”“一筹莫展”“更胜一筹”“略逊一筹”等熟语，就是古人筹算文化的遗存。
唐代，国子监内设算学馆，专门教导孩童学习数学与珠算。唐国子监规定以《算经十书》为课本，包括《缉古算经》《周髀算经》《九章算术》等。唐代，陈从运著录《得一算经》。《新唐书》著录“陈从运：得一算经七卷”。《宋史·律历志》提到：“唐试右千牛卫，胄曹参军陈从运著‘得一算经’，其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数”，该书对筹算乘除法进行改革，现已失传。北宋时期，开封县令钱易在《南部新书》中提到“鼓珠”一词。南宋刘胜年在《茗园赌市图》中绘有算盘。南宋诗人张孝祥的五言《算盘》诗：“提封连岭海，风土似江吴。仙去山藏乳，商归斗算珠。”诗中提到“算珠”。北宋画家张择端在《清明上河图》长卷描绘了“赵太丞家”药铺，其正面柜台上放有一把15档的算盘。珠算专家将画面摄影放大，确认其为穿档算盘。这是迄今为止年代最早的穿档算盘物证，表明了在宋代算盘已在日常交易中使用。1921年，河北巨鹿县出土一颗出于宋人故宅的木制算盘珠，虽已被水土淹没八百年，但仍可见其为鼓形，中间有孔，与现代算珠毫无二致。这些都为算盘在唐宋时期得到应用提供了有力的物证。
明代，随着经济贸易的发展，算盘得到广泛运用。永乐年间编纂的《鲁班木经》中有制造算盘的尺寸规格：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，……线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”1578年，柯尚迁《数学通轨》中有一个13档的珠算盘图，称为“初定算盘图式”，与当今算盘相同。算盘相当于硬件，算法相当于软件系统。直到明万历年间，珠算系统还不算“友好”。徐心鲁《算珠算法》、柯尚迁《数学通轨》、朱载堉《算学新说》等著作对珠算进行深入研究。安徽黄山屯溪商人程大位为简化计算，耗时26年，撰写《算法统宗》与《算法纂要》，确立算盘用法，完善珠算口诀，开创了珠算计数的新纪元，被誉为“珠算之父”。英国学者李约瑟对他高度评价：“在明代数学家当中，最引人注目的是程大位。”
清代，算盘成为人们最主要的计算工具。康熙帝重视算学，指定三皇子胤祉在畅春园成立“蒙养斋算学馆”。该算学馆广纳人才，从全国各地召集上百人，经过考试后，录取72人。经过培养，从中涌现出一批科技人才，如天文学家、数学家梅珏成，蒙古族数学家明安图，精通算学、天文学的进士陈厚耀等。梅珏成受康熙之命，耗时10年，编纂数学百科全书《数理精蕴》，在80岁时修订程大位的《算法统宗》，撰写《增删算法统宗》。清代李光廷在《乡言解颐》中写道：“算盘者，经营之归宿也。京师铺店开门必响算盘，似有点数节奏……乡间惟入夜各铺算一日总账，一人念之，数人打之，其声相应。”他作诗句：“鸬鸠七子最均平，定位联行格局成”，生动描述了商人手拨算盘的情景，强调了算盘在商业活动中的重要性，是人们不可或缺的计算工具。
据史籍记载，珠算在16世纪的明代开始传入朝鲜、日本、泰国及东南亚其他地区，近代又传入美国、巴西、墨西哥、加拿大、印度、汤加、坦桑尼亚等国家和地区，对当地的科技发展和社会进步起到有力的促进作用。在西方，“算盘”一词即abacus，说是由希腊语abax经拉丁语演变而来，实际上可理解为“案板颗算”。
众所周知，计算机是20世纪最先进的科学技术发明之一，对人类的生产活动和社会活动产生重大而深远影响。在西史叙事中，第一代计算机（电子管型）发明者是犹太人约翰·冯·诺依曼（John von Neumann，1903-1957年），第二代计算机（晶体管型）的发明者是IBM。冯·诺依曼被誉为“现代计算机之父”、“首枚原子弹诞生的关键人物”，在其耀眼的光芒下隐藏着一个伟大的中国人，那就是朱传榘。1919年，朱传榘出生于天津，1939年赴美留学，1942年从明尼苏达大学毕业，获得电气工程学士学位，进入宾夕法尼亚大学继续深造。1946年，朱传榘作为优秀毕业生，与5名美国人组建团队，共同研制计算机。当时的计算设备没有逻辑思维能力，不能处理通用数据。以冯·诺依曼为首的美国人团队无法解决这个问题。这个重任落到了朱传榘身上。他夜以继日的探索，终于成功地将二进制和电子线路结合在一起，创造性地设计出二进制逻辑结构，由此发明了数字电路，让电流具备逻辑运算能力，变成“电脑”。是年2月14日，全世界第一台具备通用计算意义的计算机在宾州大学问世，被命名为“ENIAC”。发明团队名单中却没有朱传榘，因为他是中国人。直到1981年，美国官方才为他颁发“计算机先驱奖”。他2011年因病逝世，美国主流媒体《纽约时报》《波士顿环球报》对他给予高度评价。将二进制引入计算机语言，这是现代科学的一项新突破。古老的伏羲八卦犹如一束曙光，比“四大发明”的影响更深远。朱传榘才是真正的现代计算机之父。
当我们敲击键盘输入数字时，或许很少想到，在这些符号的背后，是一场跨越万年的东方数学传奇。从山顶洞人的骨管刻符，到量子计算机“祖冲之号”，从商贾腰间的筭囊，到丝绸之路的驼队，十进位制与算筹的故事，是一部浓缩的中华文明史。它告诉我们，数学不仅是公式与符号，更是先民仰望星空、测算历法、丈量土地留下的智慧足迹。正如吴文俊所言：“真正代表东方数学的应该是中国。”从结绳记事到量子计算，中国数学始终与生产实践紧密结合。在数字经济尤其是AI快速发展的今天，深入挖掘珍贵的数学文化遗产，守正创新，在新时代新征程中再创辉煌。
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