邓坤：简要中国古代数学史

 

简要中国古代数学史

引言：

数学文化在中国历史悠久。在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到大禹治水使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”；据说《易经》还包含组合数学与二进制思想。2002年在湖南发掘的秦代古墓中，考古人员发现了距今大约2200多年的九九乘法表，与现代小学生使用的乘法口诀“小九九”十分相似。

我国古代数学文化,不仅同西方古代数学文化一样具有伟大的成就,而且直到15世纪以前,特别是在古希腊文明衰落后,还在很多方面领先西方1 000多年. 例如,使用测量作图工具、商高定理,发现分数、负数和零,圆周率计算,隙积术、垛积术、大衍求一术以及解高次方程等。 

中国数学的发展历程

纵观整个中国古代数学发展史，数学大发展的时代，往往却是社会环境不怎么稳定或者数学并未得到大量应用的时代。先秦时代的数学萌芽产生了，秦汉是中国古代数学体系的形成时期，只是继承了这些数学成就而没有相应的发展。之而后魏晋、南北朝推动力数学大发展，到隋唐才建立了数学教育制度，宋元迎来了古代数学的最高峰。直到西方在1840年以后大规模地接触中国，完整地数学体系和先进系统的数学思想才开始传入中国。

一、中国数学的早期发展

作为世界四大文明古国之一，中国从很早开始就发展出了自己的数学体系。《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，后世圣人易之以书契。其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。商代的甲骨文上出现了完整的十进制，这是位值制的最早使用。算筹是中国古代的计算工具，春秋时代严格的筹算已经成型并得到了广泛的应用。算术四则运算在春秋时期已经确立，乘法运算已广为流行。“九九表”一直流行了约1600年。

 

夏本纪 第一章

在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理﹝西方称毕达哥拉斯定理﹞的特例。在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。战国时代《考工记》中实用的几何知识流传到今天。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。

 

著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题。《庄子》中则强调抽象的数学思想。其中几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

二、中国数学体系的形成与奠基

这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期。在这一时期，数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。

现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》。

 

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，约成书于东汉初年。就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。这本书在例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等问题上，达到了很高的水平。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。它的成书标志着我国传统数学理论体系——初等数学理论体系的形成。比欧洲早了1400多年。

《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

西汉末年编纂的《周髀算经》，主要是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)分数、等差数列、勾股定理用于测量术；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有比例知识。

 

三国到南北朝的社会秩序混乱，战争饥荒横行，儒家在思想界的统治地位被削弱，谶纬 （小知识） 迷信与繁琐的经学退出了历史舞台，数学却得到了极大的发展。魏、晋时期出现的玄学，（尚谈“三玄”即《易经》、《老子》、《庄子》）为主。）不为汉儒经学束缚，思想比较活跃。它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。

吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《<九章算术>注》，魏末晋初刘徽撰《<九章算术>注》、《九章重差图》都是出现在这个时期。尤其是刘徽的《<九章算术>注》，总结、发展了《九章算术》编纂时就使用的出入相补原理、截面积原理、齐同原理与率的理论，完善了重差术，引入了极限思想和无穷小分割方法，以演绎逻辑全面证明了《九章算术》的公式、算法，奠定了中国传统数学的理论基础。他还首创了求圆周率的正确方法及若干新的方法，纠正了《九章算术》的许多失误。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

祖冲之父子的工作在经济文化南移以后，发展了具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。南朝祖冲之著《缀术》，是一部水平比刘徽《九章算术注》更高的著作，可惜隋唐算学馆学官“莫能究其深奥，是故废而不理”（李淳风语），遂失传。祖冲之、祖暅父子在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位； (2)在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出“祖暅原理”（二立体等高处截面积均相等则二体体积相等”的定理。）(3)发展了二次与三次方程的解法。

 

这也许是我国数学家第一次，也是目前为止唯一次出现在邮票中

此外，这一时期，还编纂了《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》（已佚）、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等著作，开辟了同余式解法等新的方向。

三、中国数学教育制度的建立

到了隋唐时期，国子监设立了算学馆，科举中也有“明算科”，唐初李淳风等整理《算经十书》，成为算学馆的教材。 公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》中，提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造。唐初王孝通撰《缉古算经》，探讨以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的开方理论。

唐中期以后，改革了计算方法，简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算。然而隋唐虽然是盛世，数学上也有设立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和不等间距内插法外，几无创造。

 

祖冲之

 

秦九昭

 

隋唐时期没有出现过一位可以与刘徽、祖冲之等比肩的数学家，也没有创作过一部可以与《九章算术》、《九章算术注》、《缀术》等等量齐观的数学著作。王孝通的《缉古算经》在解决土木工程中的数学问题上有所推进，其主要贡献是三次方程。而据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程，比王孝通还高明。李淳风等整理十部算经，很有贡献，然而，除《周髀算经注释》比赵爽注有所推进外，他们对其他算经的注释，意义都不大。尤其是对《九章算术》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是数学理论，都是远远低于刘徽注的作品。

四、中国数学发展的高峰

经过盛唐生产力的大发展，生产关系和社会各方面产生了新的变革，到宋元时期，农业、手工业、商业相当繁荣，思想统治也相对宽松，科学技术的发展进入中世纪的黄金时代。特别是造纸业与印刷技术的发达，对数学知识的流传更加方便。1084年北宋秘书省刊刻了汉唐九部算经，是为世界上首次印刷数学著作。从11～14世纪约300年期间，是中国古代数学空前繁荣的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家及数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等。

杨辉在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早700多年。

 

现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。在留传至今的《四元玉鉴》中，朱世杰得到一个四次函数的内插公式，并对这一杰出创造进行了系统的论述。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。

中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。16、17世纪，在我国大量的有关珠算的书籍中，最有名的是程大位的《直指算法统宗》。元代逐渐形成一套完善的算法和口诀，珠算普及以后，筹算便自动销声匿迹了。在现代计算机出现之前，算盘是世界上简便而有效的计算工具。

宋元时期，古代数学迎来了发展的高潮，数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。这个高潮体现在两个方面。一是探讨乘除捷算法，赝本《夏侯阳算经》、《杨辉算法》、朱世杰《算学启蒙》等作出重大贡献，为珠算盘的产生准备了算法条件，珠算盘应运而生。一是在高次方程解法（增乘开方法）、同余式解法（大衍总数术）、列方程（天元术）与联立高次方程组解法（四元术）、高阶等差级数求和（垛积术）与招差法（有限差分法）等方面取得超前其他文化传统几个世纪的重大成就。

五、中西方数学的融合

元朝后期政治腐败、经济落后、农民起义此起彼伏的环境中，数学发展跌入低谷。明清时期，由于理学统治、八股取士、大兴文字狱，禁锢了人们的思想，扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元，汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本，反而大都失传，《九章算术》几乎失传。从此，中国失去了数学大国的地位。

明末，西方传教士开始到中国活动，利玛窦等传教士将西方数学传入中国，主要传入几何、代数、三角等初等数学知识。其中利玛窦与徐光启和李之藻分别合译了两部数学著作：《几何原本》(前6卷)、《同文算指》。

 

利玛窦,徐光启合译的《几何原本》

《几何原本》文字通俗，很少疏漏。尽管当时原著中的拉丁文没有现成的中国词汇可对照，但是徐光启仍是克服困难，创造出许多恰当的译名，使全书达到信、达、雅的水平。

然而，1723年，雍正帝赶走传教士，从此人们一方面致力于消化传入的西方数学，其中会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他正确对待西方数学，对清代中期数学研究有着积极影响。这一阶段集大成的结果是编纂了清康熙帝御定的《数理精蕴》53卷。我国数学研究出现了中西融合贯通的局面。

另一方面，一批失传已久的汉唐宋元算书被发现。戴震等校勘《九章算术》等汉唐著作，促进了乾嘉时期研究古算的高潮，数学工作者们在研究传统数学的同时吸收新的方法，一时间，出现了人才济济、著述如林的好势头。如：汪莱、李锐等在方程论；董佑诚、项名达、徐有壬、李善兰等继续推进幂级数展开式的研究；李善兰创造尖锥术，踏上了微积分的门槛。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》，开创了数学史研究之先河。

在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，这些工作较宋元时期的数学进了一步。中国数学家在幂级数、尖锥术等方面已独立地得到了一些微积分成果，在不定分析和组合分析方面也获得了出色的成绩。然而，即使这样，在世界的同行们之中，我国也仍然没达到领先的地位。

六、现代数学研究的开端

19世纪末20世纪初，中国数学界发生了很大的变化，派出大批留学生，创办新式学校，组织学术团体，有了专门的期刊，中国从此进入了现代数学研究阶段。从1847年，以容闳为代表的第一批学生出国后，形成了一个出国留学的高潮。当时出国留学人数每年要达到数千人之多，随着留学人员的陆续回国，各地大学的数学教育有了明显的起色，许多大学相应设立了数学系或数理系。

 

苏步青

 

陈省身（坐着）

 

华罗庚

 

谷超豪

早期出国留学的人中，学数学的人不多，其中做出突出成就的有：苏步青、陈建功、陈省身、周炜良、许宝、华罗庚、林家翘等人。这样一批海外学子归来之后，在科研、教育、学术交流等方面都有了新转变。科研上，1949年以前共发表652篇论文，尽管数量不多且仅限于纯数学方面，但是其水平却不低于世界上的同行们。教育上，建立了正规的课程设置，数学的学时多于文科，对教科书也进行了更新。到1932年为止，全国各大学已有一支约155人的数学教师队伍，可以开5至10门以上的专业课。学术交流上，1935年7月成立“中国数学会”，创办《中国数学会学报》和《数学杂志》。1932年和1936年召开的第9、10次国际数学会议，我国均有人参加。这时，应邀到华讲学的各国数学家也纷至沓来，给过去闭关自守的数学领域，带来了现代的气息。