林群院士：算法突破“极限”，科技创新正在更新教学

 

 林群院士

 

林群，中国科学院院士，现任中国科学院数学与系统科学研究院研究员，发展中国家科学院院士，美国工业与应用数学学会会士。研究计算数学，并致力于数学普及。

 

科技创新正在更新教学

 

现代科技，基于计算机强大的计算能力，发展了信息技术，包括手机、无线网络、视频、网课……甚至发展到人工智能（代替大脑）。它们正在改变我们的生活和工作，同时也改变了科学、工程学和社会学。

 

以数学为例，出现了吴文俊的“数学定理机器证明”（这正是信息技术的观点：利用机器强大的计算能力，去做冗长繁琐的计算，从而将人类的精力解放到从事创造性的工作中去），他的高小山团队以及广州张景中团队正在继承与发展，并与人工智能相联系。

 

还有吴文俊的“中国数学史研究”，张景中的“教育数学丛书”，以及Johnson的“数字模拟技术”等，他们都不再纠缠于经典数学中的存在性，更注重计算机时代的构造性和算法。这也可以说是现代科技引起的数学教学革命。

 

以微积分的改革为例，谈一谈现代科技创新引起的教学革命。

 

16世纪开始的文艺复兴和工业革命，使数学有了飞跃发展，出现了微积分，建立了科学革命的基础。

 

当时最牛的科学家有牛顿、柯西等，近代还有普林斯顿、剑桥等。但他们的微积分体系，建立在极限或无穷小的基础上（例如，普林斯顿的一部名教材宣称“没有极限就没有微积分”），简言之，极限至上！

 

人云亦云、皇帝穿新衣、习惯成真理，人们就这么认了！

 

但是，这一体系的基础——无穷小，究竟讲的什么呢？连大数学家和哲学家罗素都不承认，他问道：“可是，无穷小是什么呢？没有人知道！”

 

连伟人都不知道，更何况一般人呢！

 

原来，前几代人的微积分大厦，都建在沙滩上，经不起推敲！

 

事在人为，有一天，国内就有人突破了无穷小和极限，发觉即使未经极限手续，也能定义微积分（见附注）。这就是前面第二段所说的计算机时代的教学改革：数学中存在性的抽象思维，正被取代为算法，只要算一算就出来了。

 

“在重要中找能做的，在能做中找重要的！”

 

基础科学研究的重要性体现在它对整个科学领域的影响，一个国家有影响力的基础研究成果越多，这个国家的基础科学水平就越高。

 

中国数学在历史上取得过辉煌业绩，现代以来，中国向世界数学界贡献出一批像华罗庚、关肇直、吴文俊、冯康、陈景润这样优秀的数学家，他们一直激励中国数学界尤其是一批年轻数学家向世界数学难题进军。

 

附注（林群，张景中）：

 

微分学涉及物体运动的平均速度与瞬时速度。

 

经过观察，在众多案例中（例如正弦运动），这两种速度之间有一微妙的关系式，它们之间的差别与时间段成正比地减少：|平均速度 - 瞬时速度| ≤ （时间段）的一个倍数这又导致瞬时速度的唯一性。所以，即使没有取极限（让时间→0）也能唯一地定义瞬时速度。

 

总之，微分学，或瞬时速度的定义，不必经极限手续，但通过有限的代数运算（简单算一算就出来了）直接处理。

 

微积分的半壁山河，就此拿下。另半壁山河，积分学呢？它涉及求曲线下面积。

 

 

微妙的是，积分学（面积）必须求助于微分学（瞬时速度）：

 

瞬时速度曲线下面积，变成路程曲线的高度差，例如：余弦（细红线）面积正弦（粗蓝线）高，即二维的“油饼”变一维的“油条”。这样的例子不胜枚举，怎不令人惊叹！

 

相关论文：

 

1）林群, 张景中. 微积分之前可以做些什么[J]. 高等数学研究，2019(1): 1-15.

2）林群, 张景中. 余弦面积正弦高[J]. 初等数学研究在中国, 2019(1): 1.

3）林群, 张景中. 微积分教材也会有错吗[J]. 数学通报, 2019(10): 1-5.

4）林群, 张景中. 先于极限的微积分[J]. 高等数学研究, 2020(1): 106-121.

本文发表于《科技导报》第10期

 

作者： 林群    可以：科技导报